真理的灵魂


坐飞机很无聊,岛娘问了iori如下的问题。
“我们有m个n位二进制数(它们中的某些可以相等),现在要从中选出一些(如果某两种选法选了相等但不同的数,视作不同的选法),使得这些数按位异或的总结果等于零。那么有多少种选法呢?”
我听到的时候想了半天不会做,岛娘提醒了我,我又想了半天才想通,然后给iori简单讲了下。对方听懂了之后也没再对我发表什么意见或建议了。
在我给iori讲完这个问题之后,我才意识到我做了我最讨厌的事——专注于细枝末节而忽略了真理的根源。用iori的话来说,“讲了技术而非真正的知识”。
为什么我第一次听到这道题的时候,没有立刻反应过来怎么做呢?我当时在想的是:按位异或要怎么搞呀、要把不同的数分为不同的组然后各自算排列组合然后相加吗?可是那么多个组合数相加要怎么加呀,………
当时的我,既没有去想这个问题的实质是什么,也没有搞明白按位异或是一种怎样的运算、符合怎样的规律。这就是我做不出来这个问题的原因,也是我没有给iori讲明白这个问题的“核心思想”的原因。


如果问我:有个(ℤ₂)^m→(ℤ₂)^n的线性算子A(它的矩阵是一个已知的n×m矩阵),那么子空间ker(A)的维数是多少呢?那我可以立刻回答出答案。
我们这么一分析就明白,解决这一问题的正确概念通路应该是怎样的。
第一步是“一位数字异或运算是一种【阿贝尔群】运算”。异或满足交换律、结合律;有零元(零异或任何数等于该数);有逆元(零的逆元是零、一的逆元是一)。实际上异或是模二加法群ℤ₂的加法。
第二步是“n位数字异或能【分解】为n个一位数字异或”。我们知道不同的位之间在异或运算上是无关的,也就是说,整个n位数字异或加法群可以分为n个子群的直和,每个子群各自都对于阿贝尔群的运算封闭,且每个子群都是(ℤ₂)。换言之,n位数字异或群等于(ℤ₂)^n。
第三步是“每种选择策略对应于m个向量的【线性组合】的一套系数”。我们引入了“数乘”的概念:选不选某个数,其实就是给这个数乘以一还是乘以零;我们引入了“线性组合”的概念:选了之后异或起来的结果,就是m个向量乘m个系数线性组合的结果。
第四步是“向量的线性组合的结果等于对系数向量的【线性变换】”。一套系数——即一个特定的系数向量,对应于唯一一个线性组合后的结果向量,所以这是一个映射关系;且该映射满足同态的要求。所以我们可以把这个映射抽象成一个线性算子A(它的矩阵的m个列向量就是我们最初的m个n位数)。这样,问题就转化为求Ax=0的解空间的维数(因为每一维只有有限种取值)。
至此,我们打通了概念通路上的每一个关卡。我们发现,这个问题的核心思想是⑴引入“群”这种代数结构;⑵引入“直和分解”这种代数操作;⑶引入“线性空间”这种代数结构;⑷抽象出“线性算子”这种代数对象。我们在解这个题的过程中,重复了名垂青史的伟大灵魂在二百年之前做过的事情。
什么叫科学呢?巨人的肩膀、精神的利剑,普适于一切事物的真理的灵魂。很久以前,我认为这个才叫科学。现在,我也觉得这个就叫科学。
但是在这之间,有一段时间,我曾经认真地怀疑过“科学”是什么。


我给大家讲个故事。
是关于一个「想要理解世界真相」的好奇的小孩的故事。
他曾经是个很天真很纯粹的人,会因为看到奇妙颜色和绚丽火花的化学实验而兴奋,会因为自己动手推算出了方均根速率的公式而开心,会因为理解了圆锥曲线公式和自己手算了正十七边形的圆心角正弦值而获得成就感和幸福感。
微不足道的东西而已……对他来说是世界的一切。他相信真理的简洁和美好,相信自己探索未知的能力,觉得自己应该成为科学家。
是个很美好的故事呢。
但是,悲剧开始在那个时候——开始在这个孩子真正尝试去成为科学家的时候。
因为,他发现了(←気づいてしまった)真理的不和谐、扭曲和丑陋。
他发现化学实验的结果是完全无法预知的。他们的理论,完全就是在为实验擦屁股。锂和镁、铍和铝相似,好那我们发明一个对角线规则,诶?碳和磷完全不相似嘛,好那规则的使用是有范围的。
他发现数学定理的证明是丑陋而冗长的。即使简洁优美,想到那一证明方法的思路也并不是看上去那么光鲜亮丽。费马大定理,嗯,多好呀多优美呀,证明花了三百年。
他发现隐藏在美妙的图形界面、操作系统和驱动程序下面的,是丑陋的硬件和复杂的抽象机制。没有一个程序员会愿意在访问虚拟的C盘D盘的时候需要指定磁头起始位置、磁盘启动的加速度以及匀速保持的时间。
不论什么领域,深究下去一定是丑陋而不和谐的,那绝对不是什么“对称性破缺”“残缺美”,那是一种令人绝望的疯狂的东西,它提醒你如果你一头钻进某个学科的狭窄到不能再狭窄的二级三级四级学科的细微分支里,你就要一辈子被这些既无聊又疯狂的东西折磨着而活下去。
这是专属于21世纪的痛苦——当人类自由的人性和理性在经历了三千年的探索和驰骋之后,终于接触到了认知能力边缘的万丈深渊和不可理喻的自然的悬崖峭壁。


我为人不能理解世界的真理而苦闷;在我看来,那些既不逻辑也不常识的“真理”,并不是自然界有什么错,只是因为人类无法从更高维度的视角观察和理解更简洁统一的真理,这是人类的认识能力的限制。
然而,即使我们无力的眼睛和自以为是的智慧只能看到片面的、破碎的、经验层面的技术,那也是挣扎于水火泥潭中的人们所翘首以待的救赎。为了拯救他们,即使不能理解也要尝试去揣摩、去试探、去把握自然的“脾气”吧。
如果我不能在学术上有任何突破的话、如果我不能理解掌握那些看起来既不逻辑也不常识的“真理”的话。
那么……至少请让我将“美与自由的艺术”传授给这个世界吧。将真理的灵魂、或曰逻格斯、或曰其他的什么名号罢——将这人类的意志领悟过的高贵的事物称颂并扬名。

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